如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣3，0

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax²+bx﹣3交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），在y轴上有一点E（0，1），连接AE．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值；

（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax²+bx﹣3经过点A（﹣3，0）、B（1，0），

∴，

解得：，

∴二次函数解析式为y＝x²+2x﹣3；

（2）设直线AE的解析式为y＝kx+b，

∵过点A（﹣3，0），E（0，1），

∴，

解得：，

∴直线AE解析式为y＝x+1，

如图，过点D作DG⊥x轴于点G，延长DG交AE于点F，

设D（m，m²+2m﹣3），则F（m， m+1），

∴DF＝﹣m²﹣2m+3+m+1＝﹣m²﹣m+4，

∴S_△ADE＝S_△ADF+S_△DEF

＝×DF×AG+DF×OG

＝×DF×（AG+OG）

＝×3×DF

＝（﹣m²﹣m+4）

＝﹣m²﹣m+6

＝﹣（m+）²+，

∴当m＝﹣时，△ADE的面积取得最大值为．

（3）∵y＝x²+2x﹣3＝（x+1）²﹣4，

∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，

设P（﹣1，n），

∵A（﹣3，0），E（0，1），

∴AP²＝（﹣1+3）²+（n﹣0）²＝4+n²，AE²＝（0+3）²+（1﹣0）²＝10，PE²＝（0+1）²+（1﹣n）²＝（n﹣1）²+1，

①若AP＝AE，则AP²＝AE²，即4+n²＝10，解得n＝±，

∴点P（﹣1，）或（﹣1，﹣）；

②若AP＝PE，则AP²＝PE²，即4+n²＝（n﹣1）²+1，解得n＝﹣1，

∴P（﹣1，﹣1）；

③若AE＝PE，则AE²＝PE²，即10＝（n﹣1）²+1，解得n＝﹣2或n＝4，

∴P（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）；

综上，点P的坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）．