定义：从数列{an}中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数

定义：从数列{a_n}中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称为数列{a_n}的一个子数列.设数列{a_n}是一个公差不为零的等差数列；

（1）已知a₄＝6，自然数k₁，k₂，…，k_t，…满足4＜k₁＜k₂＜…＜k_t＜…，

  ①若a₂＝2，且a₂，a₄，a_k1，a_k2，…，a_kt，…是等比数列，求k₂的值；

  ②若a₂＝4，求证：数列a₂，a₄，a_k1，a_k2，…，a_kt，…不是等比数列.

（2）已知存在自然数k₁，k₂，…，k_t，…，其中k₁＜k₂＜…＜k_t＜…．若a_k1，a_k2，a_k3，…，a_kt，…是{a_n}的一个等比子数列，若＝m(m为正整数)，求k_t的表达式.(答案用k₁，k₂，m，t表示).

（1）①设数列{a_n}的公差为d，因为a₂＝2，a₄＝6，所以2d＝4，d＝2，a_n＝a₂＋(n－2)d＝2n－2，设无穷等比数列公比为q，q＝＝3，所以a_k2＝2×3³＝2k₂－2，故k₂＝28.

②假设数列a₂，a₄，a_k1，a_k2，…，a_kt，…是无穷等比数列.则a₂，a₄，a_k1成等比，a₄，a_k1，a_k2成等比,所以a₄²＝a₂×a_k1得 a_k1＝9, a_k1²＝a₄×a_k2得a_k2＝.因为2d＝a₄－a₂＝1，d＝1，a_n＝a₂＋(n－2)d＝n＋2，所以a_k2＝k₂＋2＝，k₂＝N^* 这与k₂为自然数矛盾.所以数列a₂，a₄，a_k1，a_k2，…，a_kt，…不是无穷等比数列.

（2）方法1  因为a_k2－a_k1＝(k₂－k₁)d＝(m－1)a_k1，所以d＝．

又a_k1，a_k2，a_k3，…，a_kt，…是{a_n}的一个等比子数列，a_kt＝a_k1m^t-1＝a_k1＋(k_t－k₁)d，

将d＝代入，得m^t-1＝1＋，

解得k_t=(k₂-k₁)×＋k₁．

方法2  因为a_k1，a_k2，a_k3成等比数列，所以a_k3＝＝×a_k2＝[1＋]×a_k2＝a_k2＋×a_k2，则(k₃－k₂)d＝(k₂－k₁)d×，因为d不为零，是正整数m，所以k₃－k₂＝(k₂－k₁)m，同理可得k₄－k₃＝(k₃－k₂)m，…，k_t－k_t－1＝(k_t－1－k_t－2)m(t≥3)，所以{k_t－k_t－1}(t≥2)是等比数列，则k_t－k_t－1＝(k₂－k₁)×m^t－2(t≥2)，累加得k_t－k₁＝(k₂－k₁)×，所以k_t=(k₂-k₁)×＋k₁(t≥2)，易知当t＝1时，此式也成立，于是k_t=(k₂-k₁)×＋k₁．

【说明】本题主要探究了无穷等差数列中能有无穷等比子数列的条件问题，考查了等差数列等比数列的概念及基本量运算，通项公式的求法，反证法等等.考查了运算能力，推理论证能力和化归思想.