已知数列
的相邻两项
是关于
的方程
的两实根，且
（Ⅰ）求证：数列
是等比数列；
（Ⅱ）
是数列的前
项的和．问是否存在常数
，使得
对
都成立，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由．
已知数列的相邻两项是关于的方程的两实根，且
（Ⅰ）求证：数列是等比数列；
（Ⅱ）是数列的前项的和．问是否存在常数，使得对都成立，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）证明：
是关于的方程
的两实根，
……2分
故数列是首项为
，公比为-1的等比数列．……4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，即
……8分
因此，
要使，对都成立
，
即
（*） ……10分
①当
为正奇数时，由（*）式得：
即
，
对任意正奇数都成立，
因为
为奇数）的最小值为1．所以
……12分
②当为正偶数时，由（*）式得：
， 即
对任意正偶数都成立，因为
为偶数）的最小值为
所以，存在常数，使得对都成立时的取值范围为
．
……14分