如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A，B，C．景区

如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A，B，C．景区管委会又开发了风景优美的景点D．经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上．已知AB=5km．

（1）景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长．（结果精确到0.1km）

（2）求景点C与景点D之间的距离．（结果精确到0.1km）

考点： 解三角形的实际应用．

专题： 应用题．

分析： （1）过点D作DE⊥AC于点E，过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F，求DE的问题就可以转化为求∠DBE的度数或三角函数值的问题．

（2）Rt△DCE中根据三角函数就可以求出CD的长．

解答： 解：（1）如图，过点D作DE⊥AC于点E，过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F

在Rt△DAF中，∠ADF=30°，∴AF=AD=×8=4，∴DF=；

在Rt△ABF中，BF==3，∴BD=DF﹣BF=4﹣3

sin∠ABF=，在Rt△DBE中，sin∠DBE=，

∵∠ABF=∠DBE，∴sin∠DBE=，∴DE=BD•sin∠DBE=×（4﹣3）=≈3.1（km）

∴景点D向公路a修建的这条公路的长约是3.1km；

（2）由题意可知∠CDB=75°，由（1）可知sin∠DBE==0.8，所以∠DBE=53°，∴∠DCB=180°﹣75°﹣53°=52°

在Rt△DCE中，sin∠DCE=，∴DC=≈4（km）

∴景点C与景点D之间的距离约为4km．

点评： 本题主要考查解直角三角形的条件，已知直角三角形的一个锐角和一边长，或已知两边长就可以求出另外的边和角．