如图1，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE＞EC

如图1，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE＞EC），且BD=2．过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．

（1）求证：DF为⊙O的切线；

（2）若∠BAC=60°，DE=，求图中阴影部分的面积；

（3）若=，DF+BF=8，如图2，求BF的长．

【解答】证明：（1）连结OD，如图1，

∵AD平分∠BAC交⊙O于D，

∴∠BAD=∠CAD，

∴=，

∴OD⊥BC，

∵BC∥EF，

∴OD⊥DF，

∴DF为⊙O的切线；

（2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如图1，

∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，

∴∠BAD=30°，

∴∠BOD=2∠BAD=60°，

∴△OBD为等边三角形，

∴∠ODB=60°，OB=BD=2，

∴∠BDF=30°，

∵BC∥DF，

∴∠DBP=30°，

在Rt△DBP中，PD=BD=，PB=PD=3，

在Rt△DEP中，∵PD=，DE=，

∴PE==2，

∵OP⊥BC，

∴BP=CP=3，

∴CE=3﹣2=1，

易证得△BDE∽△ACE，

∴AE：BE=CE：DE，即AE：5=1：，

∴AE=

∵BE∥DF，

∴△ABE∽△AFD，

∴=，即=，解得DF=12，

在Rt△BDH中，BH=BD=，

∴S_阴影部分=S_△BDF﹣S_弓形BD

=S_△BDF﹣（S_扇形BOD﹣S_△BOD）

=•12•﹣+•（2）²

=9﹣2π；

（3）连结CD，如图2，由=可设AB=4x，AC=3x，设BF=y，

∵=，

∴CD=BD=2，

∵∠F=∠ABC=∠ADC，

∵∠FDB=∠DBC=∠DAC，

∴△BFD∽△CDA，

∴=，即=，

∴xy=4，

∵∠FDB=∠DBC=∠DAC=∠FAD，

而∠DFB=∠AFD，

∴△FDB∽△FAD，

∴=，即=，

整理得16﹣4y=xy，

∴16﹣4y=4，解得y=3，

即BF的长为3．