证明:①n=2时，∵（1-a1）(1-a2)＞0,
∴a1a2＞a1+a2+1-(1+1)成立.
②设n=k(n≥2)时原不等式成立，
即a1a2…ak＞a1+a2+…+ak+1-k成立，
则a1a2…ak+ak+1-1＞a1+a2+…+ak+ak+1+1-(k+1)成立.
∴要证明n=k+1时原不等式成立，
即a1a2…akak+1＞a1+a2+…+ak+1+1-(k+1)成立,
只需证明不等式
a1a2…akak+1＞a1a2…ak+ak+1-1(*)成立.
要证明不等式（*）成立，只需证明
(a1a2…ak-1)(ak+1-1)＞0.
又∵0＜ai＜1(i=1,2，…,k,k+1)恒成立，
∴0＜a1a2…ak＜1.
∴(a1a2…ak-1)(ak+1-1)＞0成立.
∴不等式(*)也成立，即n=k+1时原不等式成立.
由①②可知对于任何n∈N
*（n≥2）原不等式成立.