(1)求证:顶点A在底面BCD内的射影是△BCD的外心;
(2)求AD与底面BCD所成的角;
(3)求CE与底面BCD所成的角.
(1)求证:顶点A在底面BCD内的射影是△BCD的外心;
(2)求AD与底面BCD所成的角;
(3)求CE与底面BCD所成的角.
(1)证明:如图,过A作AO⊥平面ABC,垂足为O.
连结OB、OC、OD,则OB、OC、OD分别是AB、AC、AD在平面BCD内的射影.
又∵AB=AC=AD,
∴OB=OC=OD.
∴顶点A在底面BCD内的射影O是△BCD的外心.
(2)解:∵AO⊥平面BCD,
连结OD,则OD为AD在平面BCD内的射影.
∴∠ADO为直线AD与平面BCD所成的角.
∵O为△BCD的重心,
∴DO= 
.
∴cos∠ADO=
.
∴∠ADO=arccos
.
∴AD与平面BCD所成的角为arccos
.
(3)解:取OD的中点F,连结EF、CF.
∵E、F分别为△DAO的边AD、OD的中点,
∴EF为△DAO的中位线.
∴EF∥AO.又AO⊥平面BCD,∴EF⊥平面BCD.
∴FC为EC在平面BCD内的射影.
∴∠ECF为EC与平面BCD所成的角.
在Rt△EFC中,EF=
AO,
而AO=
,
∴EF=
.
∵E为AD的中点,∴
,
∴sin∠ECF=
.
∴∠ECF=arcsin
.
∴CE与平面BCD所成的角为arcsin
.