如图，四棱锥
中，
，
，侧面
为等边三角形，
（Ⅰ）证明：
;
（Ⅱ）求
与平面
所成角的正弦值．
如图，四棱锥中，，，侧面为等边三角形，
（Ⅰ）证明：;
（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值．
解法一：
（I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，
连结SE，则
又SD=1，故
，
所以
为直角。 …………3分
由
，
得
平面SDE，所以
。 SD与两条相交直线AB、SE都垂直。
所以
平面SAB。 …………6分
（II）由平面SDE知， 平面
平面SED。
作
垂足为F，则SF
平面ABCD， 
作
，垂足为G，则FG=DC=1。 连结SG，则
，
又
，
故
平面SFG，平面SBC平面SFG。 …………9分
作
，H为垂足，则
平面SBC。
，即F到平面SBC的距离为
由于ED//BC，所以ED//平面SBC，E到平面SBC的距离d也有
设AB与平面SBC所成的角为α， 则
-----------------12分
解法二：
以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C—xyz。
设D（1，0，0），则A（2，2，0）、B（0，2，0）。
又设
（I）
，
，
由
得
故x=1。
由
又由
即
…………3分
于是
，
所以平面SAB。 …………6分
（II）设平面SBC的法向量
，
则
又
故
…………9分
取p=2得
。
故AB与平面SBC所成的角正弦为
----------12分