(本小题满分14分)
已知数列
，
满足
，其中
.
（Ⅰ）若
，求数列的通项公式；
（Ⅱ）若
，且
.
（ⅰ）记
，求证：数列
为等差数列；
（ⅱ）若数列
中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 求
应满足的条件.
(本小题满分14分)
已知数列，满足，其中.
（Ⅰ）若，求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，且.
（ⅰ）记，求证：数列为等差数列；
（ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 求应满足的条件.
【解析】（Ⅰ）当
时，有
…………2分
. ………………3分
又因为
也满足上式，所以数列
的通项为
.………………4分
（Ⅱ）由题设知：
，对任意的
有
得
，
于是又
， 故
………………5分
∴
，
，
（ⅰ） 
，
所以数列
为等差数列. ………………7分
（ⅱ）设
，（其中
为常数且
），所以
所以数列
均为以7为公差的等差数列. ………………9分
设
，
（其中
，为
中的一个常数），
当
时，对任意的有
； ………………10分
由
知
；此时
重复出现无数次.
当
时，
………………11分
①若
，则对任意的
有
，所以数列
为单调减数列；
②若
，则对任意的有
，所以数列为单调增数列；
………………12分
均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多各出现一次，
即数列
中任意一项的值最多出现六次.
综上所述：当
时，数列中必有某数重复出现无数次.
当
时，数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. ………14分