已知函数f(x)=Inx，g(x)=. (1)当a=-2时，函数h(x)=f(x)-g(x)在其定义域上是增

已知函数f(x)=Inx，g(x)=.

(1)当a=-2时，函数h(x)=f(x)-g(x)在其定义域上是增函数，若函数，求函数的最小值；

(2)设函数f(x)的图象与函数g(x)的图象交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线，分别交、于点M、N，则是否存在点R，使在点M处的切线与在点N处的切线平行？若存在，求出点R的横坐标；若不存在，请说明理由。

解：（1）题意h(x)=Inx+x²-bx.         在其定义域（0，+）是增函数

 在（0，+）上恒成立  在（0，+）上恒成立

  ，当且仅当=2x，即x= 时等号成立

b的取值范围为（-，]  2分

设t=,则函数(x)可化为y=t²+bt , t,即y=（t+）²-,

当 即-2时，函数y=t²+bt在[1，2]上为增函数，当t=1时，函数y=t²+bt取得最小值，且，当1<<2，即-4<b<-2时，当t=时，函数y=t²+bt取得最小值，且 。

当2，即b-4时，函数y=t²+bt在[1,2]上为减函数，当t=2时，函数y=t²+bt取得最小值，且。

综上所述，当 时，(x)的最小值为b+1 ；

当-4<b<-2时，(x)的最小值为 ；   当b-4时，(x)的最小值为4+2b.  (6分)

（2）设点P、Q的坐标分别为（x₁,y₁）、（x₂，y₂），且0<x₁<x₂，

则点M、N的横坐标均为x=

曲线C₁在点M处的切线的斜率 ，

曲线C₂在点N处的切线的斜率

假设曲线C₁在点M处的切线与曲线C₂在点N处的切线平行，则k₁=k₂,

即       

则

=g(x₂)-g(x₁)=f(x₂)-f(x₁)=Inx₂-Inx₁=In         (9分)

设 则       ①，

令     则

      r(u)在(1,+)上单调递增，故r(u)>0,

则 ，        这与①矛盾，故假设不成立，

故不存在点R,使曲线C₁在点M处的切线与曲线C₂在点N处的切线平行。