已知函数f（x）=ax3﹣bx2+cx+b﹣a（a＞0）．
（1）设c=0．
①若a=b，曲线y=f（x）在x=x0处的切线过点（1，0），求x0的值；
②若a＞b，求f（x）在区间[0，1]上的最大值．
（2）设f（x）在x=x1，x=x2两处取得极值，求证：f（x1）=x1，f（x2）=x2不同时成立．
已知函数f（x）=ax3﹣bx2+cx+b﹣a（a＞0）．
（1）设c=0．
①若a=b，曲线y=f（x）在x=x0处的切线过点（1，0），求x0的值；
②若a＞b，求f（x）在区间[0，1]上的最大值．
（2）设f（x）在x=x1，x=x2两处取得极值，求证：f（x1）=x1，f（x2）=x2不同时成立．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）①计算f′（1），得出切线方程，代入点（1，0）列方程解出x0；
②求出f（x）的极值点，判断两极值点的大小及与区间[0，1]的关系，从而得出f（x）在[0，1]上的单调性，得出最大值；
（2）使用反证法证明．
【解答】解：（1）当c=0时，f（x）=ax3﹣bx2+b﹣a．
①若a=b，则f（x）=ax3﹣ax2，
从而f'（x）=3ax2﹣2ax，
故曲线y=f（x）在x=x0处的切线方程为
=
．
将点（1，0）代入上式并整理得
=x0（1﹣x0）（3x0﹣2），
解得x0=0或x0=1．
②若a＞b，则令f'（x）=3ax2﹣2bx=0，解得x=0或
．
（ⅰ）若b≤0，则当x∈[0，1]时，f'（x）≥0，
∴f（x）为区间[0，1]上的增函数，
∴f（x）的最大值为f（1）=0．
（ ii）若b＞0，列表：
| x | 0 | （0， |
| （ | 1 |
| f′（x） | 0 | ﹣ | 0 | + | |
| f（x） | b﹣a＜0 | 减函数 | 极小值 | 增函数 | 0 |
所以f（x）的最大值为f（1）=0．
综上，f（x）的最大值为0．
（2）假设存在实数a，b，c，使得f（x1）=x1与f（x2）=x2同时成立．
不妨设x1＜x2，则f（x1）＜f（x2）．
因为x=x1，x=x2为f（x）的两个极值点，
所以f'（x）=3ax2﹣2bx+c=3a（x﹣x1）（x﹣x2）．
因为a＞0，所以当x∈[x1，x2]时，f'（x）≤0，
故f（x）为区间[x1，x2]上的减函数，
从而f（x1）＞f（x2），这与f（x1）＜f（x2）矛盾，
故假设不成立．
既不存在实数a，b，c，使得f（x1）=x1，f（x2）=x2同时成立．
