已知函数f（x）=ax3﹣bx2+cx+b﹣a（a＞0）． （1）设c=0． ①若a=b，曲线y

已知函数f（x）=ax³﹣bx²+cx+b﹣a（a＞0）．

（1）设c=0．

①若a=b，曲线y=f（x）在x=x₀处的切线过点（1，0），求x₀的值；

②若a＞b，求f（x）在区间[0，1]上的最大值．

（2）设f（x）在x=x₁，x=x₂两处取得极值，求证：f（x₁）=x₁，f（x₂）=x₂不同时成立．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】（1）①计算f′（1），得出切线方程，代入点（1，0）列方程解出x₀；

②求出f（x）的极值点，判断两极值点的大小及与区间[0，1]的关系，从而得出f（x）在[0，1]上的单调性，得出最大值；

（2）使用反证法证明．

【解答】解：（1）当c=0时，f（x）=ax³﹣bx²+b﹣a．

①若a=b，则f（x）=ax³﹣ax²，

从而f'（x）=3ax²﹣2ax，

故曲线y=f（x）在x=x₀处的切线方程为=．

将点（1，0）代入上式并整理得=x₀（1﹣x₀）（3x₀﹣2），

解得x₀=0或x₀=1．

②若a＞b，则令f'（x）=3ax²﹣2bx=0，解得x=0或．

（ⅰ）若b≤0，则当x∈[0，1]时，f'（x）≥0，

∴f（x）为区间[0，1]上的增函数，

∴f（x）的最大值为f（1）=0．

（ ii）若b＞0，列表：

所以f（x）的最大值为f（1）=0．

综上，f（x）的最大值为0．

（2）假设存在实数a，b，c，使得f（x₁）=x₁与f（x₂）=x₂同时成立．

不妨设x₁＜x₂，则f（x₁）＜f（x₂）．

因为x=x₁，x=x₂为f（x）的两个极值点，

所以f'（x）=3ax²﹣2bx+c=3a（x﹣x₁）（x﹣x₂）．

因为a＞0，所以当x∈[x₁，x₂]时，f'（x）≤0，

故f（x）为区间[x₁，x₂]上的减函数，

从而f（x₁）＞f（x₂），这与f（x₁）＜f（x₂）矛盾，

故假设不成立．

既不存在实数a，b，c，使得f（x₁）=x₁，f（x₂）=x₂同时成立．