如图，椭圆x2+
=1的左、右顶点分别为A、B，双曲线Γ以A、B为顶点，焦距
为2
，点P是Γ上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为k，O为坐标原点．
（1）求双曲线Γ的方程；
（2）求点M的纵坐标yM的取值范围；
（3）是否存在定直线l，使得直线BP与直线OM关于直线l对称？若存在，求直线l方程，若不存在，请说明理由．
如图，椭圆x2+=1的左、右顶点分别为A、B，双曲线Γ以A、B为顶点，焦距
为2，点P是Γ上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为k，O为坐标原点．
（1）求双曲线Γ的方程；
（2）求点M的纵坐标yM的取值范围；
（3）是否存在定直线l，使得直线BP与直线OM关于直线l对称？若存在，求直线l方程，若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意，a=1，c=
，b=2，∴双曲线Γ的方程
=1；
（2）由题意，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
直线AP的方程y=k（x+1）（0＜k＜2），代入椭圆方程，整理得（4+k2）x2+2k2x+k2﹣4=0
∴x=﹣1或x2=
，∴Q（
，
），M（﹣
，
）
∴yM==
在（0，2）上单调递增，∴yM∈（0，1）
（3）由题意，kAP•kBP=
=4，同理kAP•kOM=﹣4，∴kOM+kBP=0，
设直线OM：y=k′x，则直线BP：y=﹣k′（x﹣1），解得x=
，
∵kOM+kBP=0，∴直线BP与OM关于直线x=对称．