已知椭圆C: 
+
=1(a>b>0)的离心率为
,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+
=0相切,过点P(4,0)且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求
·
的取值范围;
(3)若B点关于x轴的对称点是E,证明:直线AE与x轴相交于定点.
已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切,过点P(4,0)且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求·的取值范围;
(3)若B点关于x轴的对称点是E,证明:直线AE与x轴相交于定点.
(1)解:由题意知e=
=,
∴e2=
=
=
,
即a2=
b2.
又b=
=
,
∴b2=3,a2=4,
故椭圆的方程为
+
=1.
(2)解:由题意知直线l的斜率存在,
设直线l的方程为y=k(x-4).
由
得(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0.
由Δ=(-32k2)2-4(4k2+3)(64k2-12)>0,
得k2<.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则
(*)
∴y1y2=k2(x1-4)(x2-4)=k2x1x2-4k2(x1+x2)+16k2,
∴·=x1x2+y1y2
=(1+k2)·
-4k2·
+16k2
=25-
∵0≤k2<,
∴-
≤-<-
,
∴·∈
.
∴·的取值范围是.
(3)证明:∵B、E两点关于x轴对称,
∴E(x2,-y2).
直线AE的方程为y-y1=
(x-x1),
令y=0得x=x1-
,
又y1=k(x1-4),y2=k(x2-4),
∴x=
.
将(*)式代入得,x=1,
∴直线AE与x轴交于定点(1,0).