分析：
证明直线AC经过原点O,即证明A、O、C三点共线.证明三点共线的方法比较多,有斜率法、方程法、距离法、向量法等.
证法一：
①当直线AB的斜率存在时,如图,因为抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F(
,0),
所以经过点F的直线AB的方程可设为x=my+
.
代入抛物线的方程,得y2-2pmy-p2=0.
设A、B两点的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2),则y1、y2是上述方程的两个实根,所以y1y2=-p2.
因为BC∥x轴,且点C在准线x=-
上,
所以点C的坐标为(-
,y2),
直线CO的斜率为
即k也是直线OA的斜率,所以直线AC经过原点O.
②当直线AB不存在斜率时,直线AB的方程为x=
.代入抛物线的方程,得y2=p2,
因为点A的坐标为(
,p),点B的坐标为(
,-p),
因为BC∥x轴,且点C在准线x=-
上,
所以点C的坐标为(-
,-p),
所以
因为
∴A、O、C三点共线.
所以直线AC经过原点O.
综合①②,直线AC经过原点O.
证法二：
如图,记x轴与抛物线的准线l的交点为E,过A作AD⊥l,D是垂足,则AD∥FE∥BC.连结AC,与EF相交于点N,则
根据抛物线的几何性质,有|AF|=|AD|,|BF|=|BC|,
所以
即点N是EF的中点,与抛物线的顶点O重合,
所以直线AC经过原点O.
证法三：
设A(
,y1)、B(
,y2),由题设可知F(
,0),C(-
,y2),所以有
由A、F、B三点共线,知
∥
.
所以
因为y1≠y2,故化简得y1·y2=-p2.
又
因为
又直线AO与直线AC有公共点A,
所以A、O、C三点共线,即直线AC经过原点O.绿色通道：
(1)证法三利用两个向量a
=(x1,y1),b=(x2,y2)(其中b≠0)平行的充要条件a∥b
x1y2-x2y1=0.(2)用平面向量解高考试题中的解析几何问题,它能够把较复杂的几何推理转化为简单的代数运算,能够充分体现数学中的数形结合思想,达到了避繁就简、化难为易、事半功倍的效果,亦为解决平面解析几何问题开辟一条新途径.