（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．）
如题（19）图，在四面体
中，平面
平面
，
，
，
．
（Ⅰ）若
，
，求四面体的体积；
（Ⅱ）若二面角
为
，求异面直线
与
所成角的余弦值．
（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．）
如题（19）图，在四面体中，平面平面，，，．
（Ⅰ）若，，求四面体的体积；
（Ⅱ）若二面角为，求异面直线与所成角的余弦值．
（本题12分）
（I）解：如答（19）图1，设F为AC的中点，由于AD=CD，所以DF⊥AC.
故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，
即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，
且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°=
.
在Rt△ABC中，因AC=2AF=
，AB=2BC，
由勾股定理易知
故四面体ABCD的体积
（II）解法一：如答（19）图1，设G，H分别为边CD，BD的中点，则FG//AD，GH//BC，从而∠FGH是异面直线AD与BC所成的角或其补角.
设E为边AB的中点，则EF//BC，由AB⊥BC，知EF⊥AB.又由（I）有DF⊥平面ABC，
故由三垂线定理知DE⊥AB.
所以∠DEF为二面角C—AB—D的平面角，由题设知∠DEF=60°
设
在
从而
因Rt△ADE≌Rt△BDE，故BD=AD=a，从而，在Rt△BDF中，
，
又
从而在△FGH中，因FG=FH，由余弦定理得
因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为
解法二：如答（19）图2，过F作FM⊥AC，交AB于M，已知AD=CD，
平面ABC⊥平面ACD，易知FC，FD，FM两两垂直，以F为原点，射线FM，FC，FD分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系F—xyz.
不妨设AD=2，由CD=AD，∠CAD=30°，易知点A，C，D的坐标分别为
显然向量
是平面ABC的法向量.
已知二面角C—AB—D为60°，
故可取平面ABD的单位法向量
，
使得
设点B的坐标为
，有
易知
与坐标系的建立方式不合，舍去.
因此点B的坐标为
所以
从而
故异面直线AD与BC所成的角的余弦值为