如下图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为
，由下往上的六个点：，
，
，
，
，
的横、纵坐标分别对应数列
（
）的前
项，如下表所示：
按如此规律下去，则
．
如下图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为，由下往上的六个点：，，，，，的横、纵坐标分别对应数列（）的前项，如下表所示：
按如此规律下去，则 ．
，
，
，
，
，
，
，
， ，这个数列的规律是奇数项为
偶数项为
，故
，
，故
．
（理）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数
，第
个三角形数为
.记第个
边形数为
（
），以下列出了部分边形数中第个数的表达式：
三角形数 
正方形数 
五边形数 
六边形数 
可以推测的表达式，由此计算
.
，
，
，
从中不难发现其中的规律：
就是表示以为首相，
为公差的等差数列前项的和，
即有
，
所以
.