如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．
（1）求证：△DAC∽△DBA；
（2）过点C作⊙O的切线CE交AD于点E，求证：CE=
AD；
（3）若点F为直径AB下方半圆的中点，连接CF交AB于点G，且AD=6，AB=3，求CG的长．
如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．
（1）求证：△DAC∽△DBA；
（2）过点C作⊙O的切线CE交AD于点E，求证：CE=AD；
（3）若点F为直径AB下方半圆的中点，连接CF交AB于点G，且AD=6，AB=3，求CG的长．
解：（1）∵AB是⊙O直径，
∴∠ACD=∠ACB=90°，
∵AD是⊙O的切线，
∴∠BAD=90°，
∴∠ACD=∠DAB=90°，
∵∠D=∠D，
∴△DAC∽△DBA；
（2）∵EA，EC是⊙O的切线，
∴AE=CE（切线长定理），
∴∠DAC=∠ECA，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE+∠DCE=90°，∠DAC+∠D=90°，
∴∠D=∠DCE，
∴DE=CE，
∴AD=AE+DE=CE+CE=2CE，
∴CE=AD；
（3）如图，在Rt△ABD中，AD=6，AB=3，
∴tan∠ABD=
=2，
过点G作GH⊥BD于H，
∴tan∠ABD=
=2，
∴GH=2BH，
∵点F是直径AB下方半圆的中点，
∴∠BCF=45°，
∴∠CGH=∠CHG﹣∠BCF=45°，
∴CH=GH
=2BH，
∴BC=BH+CH=3BH，
在Rt△ABC中，tan∠ABC=
=2，
∴AC=2BC，
根据勾股定理得，AC2+BC2=AB2，
∴4BC2+BC2=9，
∴BC=
，
∴3BH=，
∴BH=
，
∴GH=2BH=
，
在Rt△CHG中，∠BCF=45°，
∴CG=
GH=
．
