已知抛物线y2=2px(p>0)过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B,|AB|≤2p.
(1)求实数a的取值范围;
(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值.
已知抛物线y2=2px(p>0)过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B,|AB|≤2p.
(1)求实数a的取值范围;
(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值.
(1)∴-
<a≤-
.
(2)△NBA的面积最大值为
p2.
(1)设直线l:y=x-a,
由
x2-2ax+a2-2px=0,
即x2-(2a+2p)x+a2=0.设A(x1,y1)、B(x2,y2),则
则|AB|=
=
≤2p.
∴0<8p(p+2a)≤4p2.
又∵p>0,∴-
<a≤-
.
(2)设AB的垂直平分线交AB于点Q,令Q(x0,y0),
则
∴|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.
又△MNQ为等腰直角三角形,
∴|QN|=|QM|=
p.
∴S△NAB=
|AB|·|QN|=
p·|AB|≤p·2p=p2,
即△NBA的面积最大值为p2.