设=，=（4sinx，cosx﹣sinx），f（x）=•． （1）求函数f（x）的解析式

设=，=（4sinx，cosx﹣sinx），f（x）=•．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）已知常数ω＞0，若y=f（ωx）在区间是增函数，求ω的取值范围；

（3）设集合A=，B={x||f（x）﹣m|＜2}，若A⊆B，求实数m的取值范围．

【考点】正弦函数的单调性；集合的包含关系判断及应用；平面向量数量积的运算．

【专题】综合题；转化思想．

【分析】（1）通过数量积的计算，利用二倍角公式化简函数的表达式，化为一个角的一个三角函数的形式，即可．

（2）结合正弦函数的单调增区间，y=f（ωx）在区间是增函数，说明⊆．求出ω的取值范围；

（3）简化集合B，利用A⊆B，得到恒成立的关系式，求出实数m的取值范围．

【解答】解：（1）f（x）=sin²•4sinx+（cosx+sinx）•（cosx﹣sinx）

=4sinx•+cos2x

=2sinx（1+sinx）+1﹣2sin²x=2sinx+1，

∴f（x）=2sinx+1．

（2）∵f（ωx）=2sinωx+1，ω＞0．

由2kπ﹣≤ωx≤2kπ+，

得f（ωx）的增区间是，k∈Z．

∵f（ωx）在上是增函数，

∴⊆．

∴﹣≥﹣且≤，

∴．

（3）由|f（x）﹣m|＜2，得﹣2＜f（x）﹣m＜2，即f（x）﹣2＜m＜f（x）+2．

∵A⊆B，∴当≤x≤时，

不等式f（x）﹣2＜m＜f（x）+2恒成立，

∴f（x）_max﹣2＜m＜f（x）_min+2，

∵f（x）_max=f（）=3，f（x）_min=f（）=2，

∴m∈（1，4）．

【点评】本题是中档题，以向量的数量积为平台，考查三角函数的基本公式的应用，函数的单调性，以及函数的值域的求值范围，恒成立的应用，考查计算能力，转化思想．