已知x为实数，用表示不超过x的最大整数，例如[1，2]=1，[﹣1.2]=﹣2，

已知x为实数，用表示不超过x的最大整数，例如[1，2]=1，[﹣1.2]=﹣2，[1]=1，对于函数f（x），若存在m∈R且m∉Z，使得f（m）=f（[m]），则称函数f（x）是Ω函数．

（Ⅰ）判断函数f（x）=x²﹣x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）

（Ⅱ）设函数f（x）是定义R在上的周期函数，其最小正周期为T，若f（x）不是Ω函数，求T的最小值．

（Ⅲ）若函数f（x）=x+是Ω函数，求a的取值范围．

【考点】抽象函数及其应用．

【专题】新定义；分类讨论；演绎法；函数的性质及应用．

【分析】（Ⅰ）根据Ω函数的定义直接判断函数f（x）=x²﹣x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；

（Ⅱ）根据周期函数的定义，结合Ω函数的条件，进行判断和证明即可．

（Ⅲ）根据Ω函数的定义，分别讨论a=0，a＜0和a＞0时，满足的条件即可．

【解答】解：（Ⅰ）f（x）=x²﹣x是Ω函数，g（x）=sinπx不是Ω函数；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

（Ⅱ）T的最小值为1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

因为f（x）是以T为最小正周期的周期函数，所以f（T）=f（0）．

假设T＜1，则[T]=0，所以f（[T]）=f（0），矛盾．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6）

所以必有T≥1，

而函数l（x）=x﹣[x]的周期为1，且显然不是Ω函数，

综上，T的最小值为1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

（Ⅲ） 当函数f（x）=x+是Ω函数时，

若a=0，则f（x）=x显然不是Ω函数，矛盾．﹣﹣﹣﹣﹣﹣

若a＜0，则f′（x）=1﹣＞0，

所以f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递增，

此时不存在m＜0，使得 f（m）=f（[m]），

同理不存在m＞0，使得 f（m）=f（[m]），

又注意到m[m]≥0，即不会出现[m]＜0＜m的情形，

所以此时f（x）=x+不是Ω函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

当a＞0时，设f（m）=f（[m]），所以m+=[m]+[]，所以有a=m[m]，其中[m]≠0，

当m＞0时，

因为[m]＜m＜[m]+1，所以[m]²＜m[m]＜（[m]+1）[m]，

所以[m]²＜a＜（[m]+1）[m]，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

当m＜0时，[m]＜0，

因为[m]＜m＜[m]+1，所以[m]²＞m[m]＞（[m]+1）[m]，

所以[m]²＞a＞（[m]+1）[m]，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）

记k=[m]，综上，我们可以得到

“a＞0且∀x∈N^•，a≠k²且a≠k（k+1）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）

【点评】本题主要考查与周期函数有关的新定义试题，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，有一定的难度．