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证明任意一对三角形面积之比等于它们的平行射影面积之比.

证明任意一对三角形面积之比等于它们的平行射影面积之比.

答案

思路分析

:我们可以按照从特殊到一般的证明思路.首先证明三角形与其投影具有两公共顶点.然后再证一般情况.

证明

:(1)如图3-1-7,△A1B1C1与△A2B2C2和△A1′B1′C1′、△A2′B2′C2′各有两对对应顶点A1和A1′,B1和B1′,A2和A2′,B2和B2′重合,在两平面的交线g上.

图3-1-7

∵C1与C1′,C2与C2′是射影对应点,

∴C1C1′∥C2C2′.

由这些点向对应轴直线g作垂线C1H1,C1′H1′,C2H2,C2′H2′.

设C1C2与C1′C2′相交于直线g上一点x,由相似三角形得

=,=.

∵C1C1′∥C2C2′,∴===k时,

==k.

又∵△A1B1C1与△A1′B1′C1′同底,△A2B2C2与△A2′B2′C2′同底,

∴或=k,

其中k为常数.

(2)当三角形与其射影没有公共顶点时,如图3-1-8.

图3-1-8

在△A1B1C1与其射影A1′B1′C1′中,三对对应边相交于对应轴g上.

由(1)中结论知:

=k,即=k.

=k,即=k.

=k,即=k.

∴=+-=k+k-k=k(+-)=k.

∴=k.同理,=k,

∴.

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