如图，射线AM平行于射线BN，∠B=90°，AB=4，C是射线BN上的一个动点，连接AC，作CD⊥AC，且AC=2CD，过C作CE⊥BN交AD于点E，设BC长为a．
（1）求△ACD的面积（用含a的代数式表示）；
（2）求点D到射线BN的距离（用含有a的代数式表示）；
（3）是否存在点C，使△ACE是以AE为腰的等腰三角形？若存在，请求出此时a的值；若不存在，请说明理由．
如图，射线AM平行于射线BN，∠B=90°，AB=4，C是射线BN上的一个动点，连接AC，作CD⊥AC，且AC=2CD，过C作CE⊥BN交AD于点E，设BC长为a．
（1）求△ACD的面积（用含a的代数式表示）；
（2）求点D到射线BN的距离（用含有a的代数式表示）；
（3）是否存在点C，使△ACE是以AE为腰的等腰三角形？若存在，请求出此时a的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB=4，BC=a，
∴AC=
=
，
∴CD=
AC=
，
∵∠ACD=90°，
∴S△ACD=AC•CD=
（2）如图1，过点D作DF⊥BN于点F，
∵∠FDC+∠FCD=90°，∠FCD+∠ACB=180°﹣90°=90°，
∴∠FDC=∠ACB，
∵∠B=∠DFC=90°，
∴∠FDC=∠ACB，
∵∠B=∠DFC=90°，
∴△DFC∽△CBA，
∴
，
∴DF=
BC=a，
∴D到射线BN的距离为a；
（3）存在，①当EC=EA时，
∵∠ACD=90°，
∴EC=EA=AD，
∵AB∥CE∥DF，
∴BC=FC=a，
由（2）知，△DFC∽△CBA，
∴
，
∴FC=
AB=2，
∴a=2，
②当AE=AC时，如图2，AM⊥CE，
∴∠1=∠2，
∵AM∥BN，
∴∠2=∠4，
∴∠1=∠4，
由（2）知，∠3=∠4，
∴∠1=∠3，
∵∠AGD=∠DFC=90°，
∴△ADG∽△DCF，
∴
，
∵AD=
=
，AG=a+2，CD=
，
∴
，
∴a=4
+8，
即：满足条件的a的值为2或4
+8．
