如图，四边形ABEF是等腰梯形，AB∥EF，AF＝BE＝2，EF＝4
，AB＝2，ABCD是矩形．AD⊥平面ABEF，其中Q，M分别是AC，EF的中点，P是BM中点．
（1）求证：PQ∥平面BCE；
（2）求证：AM⊥平面BCM；
（3）求点F到平面BCE的距离．
如图，四边形ABEF是等腰梯形，AB∥EF，AF＝BE＝2，EF＝4，AB＝2，ABCD是矩形．AD⊥平面ABEF，其中Q，M分别是AC，EF的中点，P是BM中点．
（1）求证：PQ∥平面BCE；
（2）求证：AM⊥平面BCM；
（3）求点F到平面BCE的距离．
1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
．
试题分析：（1）因为
分别是
，
的中点，由三角形的中位线性质知，
∥
，从而证明∥平面
；（2）由题意易知，
，又
，所以
，故
，所以由线面垂直的判定定理可得结论；（3）可转化为
到平面的距离的
倍，再利用三棱锥的等体积法求到平面的距离．
试题解析：（1）因为AB∥EM，且AB＝EM，所以四边形ABEM为平行四边形．
连接AE，则AE过点P，且P为AE中点，又Q为AC中点，
所以PQ是△ACE的中位线，于是PQ∥CE．
∵CE⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE，
∴PQ∥平面BCE．
（2）AD⊥平面ABEF⇒BC⊥平面ABEF⇒BC⊥AM．
在等腰梯形ABEF中，由AF＝BE＝2，EF＝4，AB＝2，
可得∠BEF＝45°，BM＝AM＝2，
∴AB2＝AM2＋BM2，∴AM⊥BM．
又BC∩BM＝B，∴AM⊥平面BCM．
（3）解法一：点F到平面BCE的距离是M到平面BCE的距离的2倍，
∵EM2＝BE2＋BM2，∴MB⊥BE，
∵MB⊥BC，BC∩BE＝B，
∴MB⊥平面B
CE，∴d＝2MB＝4．
解法二：VC－BEF＝
S△BEF·BC＝
BC，
VF－BCE＝S△BCE·d＝
BC．
∵VC－BEF＝VF－BCE，∴d＝4．