已知直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于点A、B，求证：OA⊥OB.

已知直线y=x-2与抛物线y²=2x相交于点A、B，求证：OA⊥OB.

答案

证法一：

将y=x-2代入y²=2x中，得（x-2）²=2x，

化简得x²-6x+4=0,∴x=3±.

∴x=3+时,y=1+；

x=3-时，y=1-.

∴k_OA·k_OB=×=-1.

∴OA⊥OB.

证法二：

同证法一得方程x²-6x+4=0.

∴x₁+x₂=6,x₁·x₂=4.

∴y₁·y₂=（x₁-2）（x₂-2）=x₁·x₂-2（x₁+x₂）+

4=-4.

∴k_OA·k_OB==-1.

∴OA⊥OB.

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