(1)设a、b、c依次成等差数列,且公差d≠0,
求证:x、y、z成等比数列;
(2)设正数x、y、z依次成等比数列,且公比不为1,
求证:a、b、c成等差数列.
(1)设a、b、c依次成等差数列,且公差d≠0,
求证:x、y、z成等比数列;
(2)设正数x、y、z依次成等比数列,且公比不为1,
求证:a、b、c成等差数列.
证明:(1)∵a、b、c成等差数列,且公差d不为0,
∴b-c=a-b=-d,c-a=2d,d≠0.
代入已知条件,得-d(logmx-2logmy+logmz)=0.
于是,有logmx+logmz=2logmy,
即y2=xz,且x>0,y>0,z>0.
故x、y、z成等比数列.
(2)∵x、y、z成等比数列,且公比不为1,
∴
=q(q≠1),两边取对数,得
logmy-logmx=logmz-logmy=logmq≠0.
∴logmz-logmx=2logmq.
代入已知条件,得logmq·(a-2b+c)=0,
∵q≠1,∴logmq≠0.
∴2b=a+c.故a、b、c成等差数列.