分析：这样的等腰直角三角形一定存在,这是可以看出来的;过C分别作倾斜角为45°、135°的直线与椭圆分别交于A、B两点,由椭圆的对称性可知,△ABC为等腰直角三角形.至于除这个三角形外还有没有,只要求过C点的互相垂直且相等的弦共有几对即可.
解：不妨设A、B两点分居于y轴的左、右两侧,设CA的斜率为k,
则k＞0,CA所在直线的方程为y=kx+1.
代入椭圆方程并整理得(a2k2+1)x2+2a2kx=0.
∴x=0或x=-
.
∴A点的横坐标为-
.
∴|CA|=
.
同理,|CB|=
.
由|CA|=|CB|得
,
∴(k-1)［k2-(a2-1)k+1］=0. (*)
当1＜a＜
时,k=1,k2-(a2-1)k+1=0无实数解.
当a=
时,(*)的解k=1,k2-(a2-1)k+1=0的解也是k=1.
当a＞
时,(*)的解除k=1外,方程k2-(a2-1)k+1＞0有两个不等的正根,且都不等于1,故(*)有三个正根.
∴符合题意的等腰直角三角形一定存在,在1＜a≤
时只有一个,当a＞
时,共有3个.
∴最多有3个.