.（1）求证：an＞2且an+1＜an;
（2）证明a1+a2+…+an＜2(n+a-2).
.（1）求证：an＞2且an+1＜an;
（2）证明a1+a2+…+an＜2(n+a-2).
证明
:（1）证法一：an+1=＞0，∴an＞1.∴an-2=
-2=
≥0.
∴an≥2，若存在ak=2,则ak-1=2,
由此可推出ak-2=2,…,a1=2,此与a1=a＞2矛盾，故an＞2.
∵an+1-an=
＜0，
∴an+1＜an.
证法二：（用数学归纳法证明an＞2）,①当n=1时，因a1=a＞2,故命题an＞2成立；②假设n=k时命题成立，即ak＞2,那么,ak+1-2=
，所以ak+1＞2，即n=k+1时命题也成立.
综上所述，命题an＞2对一切正整数成立.an+1＜an的证明同上.
（2）由题（1）得an-2=
,
∴an-2＜
＜…＜
(n≥2).
∴(a1-2)+(a2-2)+…+(an-2)≤(a-2)(1+
+
+…+
)=(a-2)
=2(a-2)(1-
)＜2(a-2).
∴a1+a2+…+an＜2(n+a-2).
温馨提示
用数学归纳法证明不等式,关键是在证明n=k+1时命题成立.从n=k+1的待证不等式的一端“拼凑”出归纳假设不等式的一端，再运用归纳假设即可.