x4+bx3+cx2+dx+e(x∈R)分别在x=0处和x=1处取得极值.(1)求d的值及b与c的关系式(用c表示b),并指出c的取值范围;
(2)若函数f(x)在x=0处取得极大值,
①判断c的取值范围;
②若此时函数f(x)在x=1时取得最小值,求c的取值范围.
x4+bx3+cx2+dx+e(x∈R)分别在x=0处和x=1处取得极值.(1)求d的值及b与c的关系式(用c表示b),并指出c的取值范围;
(2)若函数f(x)在x=0处取得极大值,
①判断c的取值范围;
②若此时函数f(x)在x=1时取得最小值,求c的取值范围.
又∵f′(0)=f′(1)=0,∴∴
∵f′(x)=2x3-2(c+1)x2+2cx,即f′(x)=2x(x-1)(x-c),
∴c≠0且c≠1,
即c的取值范围是{c|c∈R
且c≠0且c≠1}.(2)①∵f′(x)=2x(x-1)(x-c),
∴当c＜0时,有
x | (-∞,c) | c | (c,0) | 0 | (0,1) | 1 | (1,+∞) |
f′(x) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | 递减 | 极小值 | 递增 | 极大值 | 递减 | 极小值 | 递增 |
符合题意.
当0＜c＜1或c＞1时,不符合题意.
即c的取值范围是{c|c＜0}.
②由题意得:f(c)≥f(1).
∴
c4
+c3+e≥
+c+e.
∴c4-2c3+2c-1≤0,即(c-1)3(c+1)≤0.
∴-1≤c＜0,
即:c的取值范围是{c|-1≤c＜0}.