已知抛物线 的焦点为 F ，准线为 ，点 P 是抛物线 C 上的动点 . (1)

已知抛物线 的焦点为 F ，准线为 ，点 P 是抛物线 C 上的动点 .

(1) 若 P 在直线 上的投影为 ，且 为等边三角形，求点 P 的坐标 .

(2) 过点 P 作直线 分别交直线 于 A ， B ，若 的内心恰为原点 O ，求 面积的取值范围 .

(1)

(2)

【解析】

【分析】

（ 1 ）由题意可知， 的坐标为 ， 平行于 x 轴，可设 ， ，由于 为等边三角形，可知 ，根据两点之间的坐标公式，列出方程，即可求出 的坐标；

（ 2 ）设 ，由于 的内心恰为原点 O ，可知 ，设 ， 的方程分别为 ， 由于若 的内心恰为原点 O ，所以原点 到 和 的距离为 ，根据点到直线的距离公式，可得 是关于 k 的方程 的两根，由韦达定理可知 ，再根据 的面积为 ，再利用换元法，根据二次函数的单调性，即可求出结果 .

(1)

解：由题意可知， 的坐标为 ，

平行于 x 轴， 的横坐标为 ，

设 ， ，

为等边三角形， ，

即 ，解得： .

的坐标为 .

(2)

解：设 ，则 的方程为 .

由于 的内心恰为原点 O ，且过点 P 作直线 分别交直线 于 A ， B ，

所以从 作单位圆的切线，即 ，其与直线 交于 A ， B 两点，

则 A ， B 两点须一个在 轴上方，一个在 轴下方，所以 ，

原点 到 的距离为 1 ，所以有 ，

整理得 .

再设 的方程为 ，同理可得 .

是关于 k 的方程 的两根，

.

的面积为 ，

令 ，则 ，

再令 ，则

由 ，可知 在 上单调递增，所以 的范围为 ，

所以 的范围为 .