已知x1,x2(x1<x2)是函数f(x)=ex+ln(x+1)-ax(a∈R)的两个极值点.(1)求a的取值

已知x₁,x₂(x₁<x₂)是函数f(x)=e^x+ln(x+1)-ax(a∈R)的两个极值点.

(1)求a的取值范围;

(2)证明:f(x₂)-f(x₁)<2ln a.

解(1)由题意得f'(x)=e^x+-a,x>-1,令g(x)=e^x+-a,x>-1,则g'(x)=e^x-,

令h(x)=e^x-,x>-1,则h'(x)=e^x+>0,

∴h(x)在(-1,+∞)上递增,且h(0)=0,

当x∈(-1,0)时,g'(x)=h(x)<0,g(x)递减;

当x∈(0,+∞)时,g'(x)=h(x)>0,g(x)递增,

∴g(x)≥g(0)=2-a.

①当a≤2时,f'(x)=g(x)≥g(0)=2-a≥0,f(x)在(-1,+∞)递增,此时无极值;

②当a>2时,∵g-1=>0,g(0)=2-a<0,

∴∃x₁∈-1,0,g(x₁)=0,

当x∈(-1,x₁)时,g(x)=f'(x)>0,f(x)递增;

当x∈(x₁,0)时,g(x)=f'(x)<0,g(x)递减;

∴x=x₁是f(x)的极大值点;

∵g(lna)=>0,g(0)=2-a<0,

∴∃x₂∈(0,lna),g(x₂)=0.

当x∈(0,x₂)时,g(x)=f'(x)<0,f(x)递减;当x∈(x₂,+∞)时,g(x)=f'(x)>0,f(x)递增,∴x=x₂是f(x)的极小值点;

综上所述,a∈(2,+∞).

(2)证明由(1)得a∈(2,+∞),-1<x₁<0<x₂<lna,

且g(x₁)=g(x₂)=0,

∴x₂-x₁>0,<x₁+1<1,1<x₂+1<1+lna,

,

-a<0,

1<<a(1+lna)<a²,

∴f(x₂)-f(x₁)=+ln-a(x₂-x₁)

=(x₂-x₁)-a+ln<lna²=2lna.