如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(m，m)，点B的坐标为(n，－n

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(m，m)，点B的坐标为(n，－n)，抛物线经过A，O，B三点，连接OA，OB，AB，线段AB交y轴于点C.已知实数m，n(m<n)是方程的两根．

(1)求抛物线的解析式．

(2)若P为线段OB上的一个动点(不与点O，B重合)，直线PC与抛物线交于D，E两点(点D在y轴右侧)，连接OD，BD.

①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；

②求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标．

解：(1)解方程x²－2x－3＝0，得x₁＝3，x₂＝－1.

∵m＜n，∴m＝－1，n＝3.

∴A(－1，－1)，B(3，－3)．  …………（2分）

∵抛物线过原点，

∴可设抛物线的解析式为y＝ax²＋bx，得

 解得

∴抛物线的解析式为y＝－x²＋x.  …………（4分）

(2)①设直线AB的解析式为y＝kx＋b，根据题意，得

  解得

∴直线AB的解析式为y＝－x－，  …………（5分）

∴C(0，－)．

又∵直线OB的解析式为y＝－x，

故设P(x，－x)．    …………………（6分）

∵△OPC为等腰三角形，则

Ⅰ)当OC＝OP时，x²＋(－x)²＝，

解得x₁＝，x₂＝－(舍去)，

∴P₁(，－)．

(Ⅱ)当PO＝PC时，x²＋(－x)²＝x²＋(x－)²，

解得x＝，

∴P₂(，－)．

(Ⅲ)当OC＝PC时，x²＋(x－)²＝，

解得x₁＝，x₂＝0(舍去)，

∴P₃(，－)．

综上所述，点P的坐标为(，－)或(，－)或(，－)．  ……（9分）

②设D(x，y)(x＞0)．

分别过点D，B作DG⊥y轴于点G，BF⊥y轴于点F，

则G(0，y)，F(0，－3)，

∴S_△BOD＝S_Rt△ODG＋S_梯形DGFB－S_Rt△OBF

　　　 ＝x×(－y)＋(x＋3)×(3＋y)－×3×3

　　　 ＝－xy＋x＋xy＋＋y－

　　　 ＝y＋x.

又∵y＝－x²＋x，

∴S_△BOD＝－x²＋x＝－(x－)²＋.  …………（11分）

∵0＜x＜3，

∴当x＝时，S_△BOD的最大值为，

此时D(，－)．