已知函数f(x)＝ax3＋bx2的图象过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x＋9y＝0垂直．
(1)求实数a，b的值；
(2)若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，求m的取值范围．
已知函数f(x)＝ax3＋bx2的图象过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x＋9y＝0垂直．
(1)求实数a，b的值；
(2)若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，求m的取值范围．
解：(1)∵f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1,4)，
∴a＋b＝4.①
f′(x)＝3ax2＋2bx，
则f′(1)＝3a＋2b.
由已知得f′(1)·
＝－1，
即3a＋2b＝9.②
由①②，得a＝1，b＝3.
(2)f(x)＝x3＋3x2，f′(x)＝3x2＋6x，
令f′(x)＝3x2＋6x≥0，
得x≥0或x≤－2，
故由f(x)在[m，m＋1]上单调递增，得[m，m＋1]⊆[0，＋∞)或[m，m＋1]⊆(－∞，－2]，
∴m≥0或m＋1≤－2，
即m≥0或m≤－3.
∴m的取值范围为(－∞，－3]∪[0，＋∞)．