设常数
，函数
，
.
（Ⅰ）令
，求
的最小值，并比较的最小值与零的大小；
（Ⅱ）求证：
在
上是增函数；
（Ⅲ）求证：当
时，恒有
．
设常数，函数，.
（Ⅰ）令，求的最小值，并比较的最小值与零的大小；
（Ⅱ）求证：在上是增函数；
（Ⅲ）求证：当时，恒有．
3分
列表如下：
|
|
| 2 |
|
|
|
| 0 |
|
|
| ↘ | 极小值 | ↗ |
∴
在
处取得极小值
，
即的最小值为． ……5分
，
∵
，∴
，又
，∴
． ……7分
证明（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的最小值是正数，
∴对一切
，恒有
， ……9分
从而当
时，恒有
，
故
在
上是增函数． ……11分
证明（Ⅲ）由（Ⅱ）知：在上是增函数，
∴当
时，
， ……12分
又
， …
…13分
∴
，即
，
∴
故当时，恒有．
