(1)求PB与平面PAC所成的角;
(2)求
的值;
(3)求二面角P-AM-N的大小.
(1)求PB与平面PAC所成的角;
(2)求的值;
(3)求二面角P-AM-N的大小.
解：(1)取AC中点D,连结BD、PD.
∵PA⊥平面ABC,PA
平面PAC,△ABC为正三角形,
∴BD⊥平面PAC,PD为PB在平面PAC上的射影.
∴∠BPD即为PB与平面PAC所成的角.
由PA=AB=a得BD=a,PB=
a,∴sin∠BPD=
=
.
∴∠BPD=arcsin
,即PB与平面PAC所成的角为arcsin
.
(2)由PC⊥平面AMN知PC⊥AN,MN⊥PC.
又△PAC为等腰直角三角形,PA=AC.
∴N为PC中点.PN=
a.
在△BPC中,cos∠BPC=
=
.
在Rt△MPN中,PM=
=
a.
∴MB=
a-
a=
a.∴
=2.
(3)过N作NE⊥AM于E.连结PE.
∵PN⊥平面AMN,∴NE为PE在平面AMN上的射影.
∴PE⊥AM.∴∠PEN为二面角P-AM-N的平面角.
在△PAM中,∠APM=45°,AP=a,PM=
a.
∴AM=a2+(
=
a.
∴
AM·PE=
PA·AM·sin∠APM.
∴PE= a·
.
∴sin∠PEN=
=
=
.∴∠PEN=arcsin
,
即二面角P-AM-N的大小为arcsin
.