（本题满分14分）
已知函数
，点
．
（Ⅰ）若
，函数
在
上既能取到极大值，又能取到极小值，求
的取值范围；
（Ⅱ） 当
时，
对任意的
恒成立，求
的取值范围；
（Ⅲ）若
，函数在
和
处取得极值，且
，
是坐标原点，证明：直线
与直线
不可能垂直.
（本题满分14分）
已知函数，点．
（Ⅰ）若，函数在上既能取到极大值，又能取到极小值，求的取值范围；
（Ⅱ） 当时，对任意的恒成立，求的取值范围；
（Ⅲ）若，函数在和处取得极值，且，是坐标原点，证明：直线与直线不可能垂直.
解：（Ⅰ）当
时，
，
令
得
，根据导数的符号可以得出函数
在
处取得极大值，
在
处取得极小值．函数在
上既能取到极大值，又能取到极小值，
则只要
且
即可，即只要
即可．
所以
的取值范围是
． ………… 4分
（Ⅱ）当
时，
对任意的
恒成立，
即
对任意的恒成立，
也即
在对任意的恒成立．
令
，则
． ………… 6分
记
，则
，
则这个函数在其定义域内有唯一的极小值点
，
故也是最小值点，所以
，
从而
，所以函数
在
单调递增．
函数
．故只要
即可．
所以
的取值范围是
………… 9分
（Ⅲ）假设
，即
，
即
，
故
，
即
．
由于
是方程的两个根，
故
．代入上式得
． ………… 12分
，
即
，与
矛盾，
所以直线
与直线
不可能垂直． ………… 14分