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直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B.(1)求实数k的

直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B.

(1)求实数k的取值范围.

(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F2?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.

答案

解:(1)由

得(k2-2)x2+2kx+2=0(*).这个关于x的二次方程有两个不等正根.

∴

-2＜k＜-.

故所求k的取值范围为-2＜k＜-

.

(2)设A、B两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).

则由(*)得

若存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F2(c,0),

则

,即(x1-c)·(x2-c)+y1y2=0,

即x1x2-c(x1+x2)+c2+(kx1+1)(kx2+1)=0.

得(k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0.                                               （2）

将（1）代入（2）中得(k2+1)·

+(k-c)·+c2+1=0.

又c2=

,

∴5k2+2

k-6=0,得k=-或k=(-2,-).

由此,k=-

即为所求.

故存在实数k=-

使原命题成立.

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