. 19(本小题满分14分)
已知椭圆 (a>b>0)与直线
x+y－1 = 0相交于A、B两点，且OA⊥OB
(O为坐标原点)．
(I) 求 + 的值；
(II) 若椭圆长轴长的取值范围是［,］，
求椭圆离心率e的取值范围．
. 19(本小题满分14分)
已知椭圆 (a>b>0)与直线
x+y－1 = 0相交于A、B两点，且OA⊥OB
(O为坐标原点)．
(I) 求 + 的值；
(II) 若椭圆长轴长的取值范围是［,］，
求椭圆离心率e的取值范围．
(Ⅰ) 2 (Ⅱ) ［ ，］
(I) 将x+y－1=0代入椭圆方程整理得：(a2+b2)x2－2a2x+a2(1－b2)=0．（*）
设A(x1, y1)、B(x2, y2)，则x1+x2=
，x1x2=
,
而y1y2=(1－x1)(1－x2) = 
．
又∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0．∴+=0．
∴a2+b2 = 2a2b2∴ + =2 ①
经验证，此时方程(*)有解，∴+ =2． 8分
(2)将b2 = a2－c2，e = 代入①得：2－e2 = 2a2(1－e2)．
∴e2 = =1－，而2a∈[，]，
∴
≤ e 2 ≤ 
．而0 < e < 1，∴≤ e ≤ ．
故e的取值范围为［ ，］． 14分