已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=
（3n+Sn）对一切正整数n成立
（I）证明：数列{3+an}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；
（II）设
，求数列{bn}的前n项和Bn．
已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=（3n+Sn）对一切正整数n成立
（I）证明：数列{3+an}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；
（II）设，求数列{bn}的前n项和Bn．
考点：
数列递推式；数列的求和．
专题：
计算题；转化思想．
分析：
（I）把Sn和Sn+1相减整理求得an+1=2an+3，整理出3+an+1=2（3+an），判断出数列{3+an}是首相为6，公比为2的等比数列，求得3+an，则an的表达式可得．
（II）把（I）中的an代入bn，求得其通项公式，进而利用错位相减法求得数列的前n项的和．
解答：
解：（I）由已知得Sn=2an﹣3n，
Sn+1=2an+1﹣3（n+1），两式相减并整理得：an+1=2an+3
所以3+an+1=2（3+an），又a1=S1=2a1﹣3，a1=3可知3+a1=6≠0，进而可知an+3≠0
所以
，故数列{3+an}是首相为6，公比为2的等比数列，
所以3+an=6•2n﹣1，即an=3（2n﹣1）
（II）bn=n（2n﹣1）=n2n﹣n
设Tn=1×2+2×22+3×23++n×2n（1）2Tn=1×22+2×23++（n﹣1）2n+n×2n+1（2）
由（2）﹣（1）得Tn=﹣（2+22+23++2n）+n2n+1=
∴
点评：
本题主要考查了数列的递推式的应用，数列的通项公式和数列的求和问题．应熟练掌握一些常用的数列的求和方法如公式法，错位相减法，叠加法等．