（本小题满分14分） 已知函数
．
（Ⅰ）若
，求函数
的极值；
（Ⅱ）当
时，若函数在
上单调递减，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）已知
，
，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线
均相切，求．
（本小题满分14分） 已知函数．
（Ⅰ）若，求函数的极值；
（Ⅱ）当时，若函数在上单调递减，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）已知，，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线均相切，求．
解：（Ⅰ）当
时，
，
．
由
可得
或
；由
可得
．
故函数
在区间
，
上单调递增；在区间
上单调递减．
故函数在
处取得极大值
；在
处取得极小值
． 4分
（Ⅱ）当
时，
，则
，函数在
上单调递减，则有：
解得
，
故实数m的取值范围是
． 8分
（Ⅲ）设切点
，则切线的斜率
，又
，所以切线的方程是
，又切线过原点，则：
，
∴
，解得
，或
． 10分
两条切线的斜率为
，
，
且
，
由
，
，得
，
，
∴
，
所以
， 12分
又两条切线垂直，故
，所以上式等号成立，有
，且
．
故函数
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