已知e为自然对数的底数,设函数
,则( )．
A. 当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值 B. 当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值
C. 当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值 D. 当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值
已知e为自然对数的底数,设函数,则( )．
A. 当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值 B. 当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值
C. 当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值 D. 当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值
C
【解析】
当k=1时，函数f(x)=(ex−1)(x−1).
求导函数可得f′(x)=ex(x−1)+(ex−1)=(xex−1)
f′(1)=e−1≠0，f′(2)=2e2−1≠0，
则f(x)在在x=1处与在x=2处均取不到极值，
当k=2时，函数f(x)=(ex−1)(x−1)2.
求导函数可得f′(x)=ex(x−1)2+2(ex−1)(x−1)=(x−1)(xex+ex−2)
∴当x=1，f′(x)=0，且当x>1时，f′(x)>0，当x0<x<1时(x0为极大值点)，f′(x)<0，故函数f(x)在(1,+∞)上是增函数；在(x0,1)上是减函数，从而函数f(x)在x=1取得极小值。对照选项。
故选C.