（本题16分） 已知数列中，，(n∈N*)，bn＝3an。 （1）试证数列是等

（本题16分）

已知数列中，，(n∈N*)，b_n＝3a_n。

（1）试证数列是等比数列，并求数列{b_n}的通项公式。

（2）在数列{b_n}中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，说明理由。

（3）①试证在数列{b_n}中，一定存在满足条件1＜r＜s的正整数r，s，使得b₁，b_r，b_s成等差数列；并求出正整数r，s之间的关系。

②在数列{b_n}中，是否存在满足条件1＜r＜s＜t的正整数r，s，t，使得b₁，b_r，b_s，b_t成等差数列？若存在，确定正整数r，s，t之间的关系；若不存在，说明理由。

（1）证明: 由，得a_n＋1＝2ⁿ—a_n，                                                

∴,      

∴数列是首项为,公比为的等比数列.      ……………2分

   ∴ , 即，

∴                               …………………………………3分

（2）解：假设在数列{b_n}中，存在连续三项b_k－1，b_k，b_k＋1(k∈N*, k≥2)成等差数列，则b_k－1＋b_k＋1＝2b_k，即，

即＝4                             …………………………………4分

①若k为偶数，则＞0，4＝－4＜0，所以，不存在偶数k，使得b_k－1，b_k，b_k＋1成等差数列。                                         …………………………………5分

②若k为奇数，则k≥3，∴≥4，而4＝4，所以，当且仅当k＝3时，b_k－1，b_k，b_k＋1成等差数列。

综上所述，在数列{b_n}中，有且仅有连续三项b₂，b₃，b₄成等差数列。       …………7分

（3）①证明：要使b₁，b_r，b_s成等差数列，只需b₁＋b_s＝2 b_r，即3＋＝2[],即，          ①                            

（ⅰ）若s＝r＋1，在①式中，左端＝0，右端＝，要使①式成立，当且仅当s为偶数时成立。又s＞r＞1，且s，r为正整数，所以，当s为不小于4的正偶数，且s＝r＋1时，b₁，b_r，b_s成等差数列。………9分

（ⅱ）若s≥r＋2时，在①式中，左端≥＝，由（2）可知，r≥3，∴r＋1≥4，∴≥16；右端≤0（当且仅当s为偶数、r为奇数时取“＝”），

∴当s≥r＋2时，b₁，b_r，b_s不成等差数列。                                 

综上所述，存在不小于4的正偶数s，且s＝r＋1，使得b₁，b_r，b_s成等差数列。  ……11分

②假设存在满足条件1＜r＜s＜t的正整数r，s，t，使得b₁，b_r，b_s，b_t成等差数列。

首先找到成等差数列的3项：由第（3）小题第①问，可知，b₁，b_2n－1，b_2n(n∈N*，且n≥2)成等差数列，其公差d＝b_2n－b_2n－1＝＝， ……12分

∴b_t＝b_2n＋d＝＋＝3－3。           

又b_t=，∴3－3＝，

即2^t－3＝－3。   ②                            ……………………14分

∵t＞2n＞2n－1，∴t≥2n＋1，∴②式的左端2^t－3≥－3＝≥8，而②式的右端－3≤－2，∴②式不成立。

综上所述，不存在满足条件1＜r＜s＜t的正整数r，s，t，使得b₁，b_r，b_s，b_t成等差数列。

…………………16分