已知：二次函数
的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<OC）是方程x2－10x＋16＝0的两个根，且A点坐标为（－6，0）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．
 |
解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC,
∴B、C三点的坐标分别是B（2，0）、C（0，8） 将A（－6，0）、B（2，0）、C（0，8）代入表达式y＝ax2＋bx＋8，
36a-6b+8=0 4a+2b+8=0 解得a=-2/3 b=-8/3
∴所求二次函数的表达式为y＝－
x2－
x＋8
2）∵AB＝8，OC＝8，依题意，AE＝m，则BE＝8－m，
∵OA＝6，OC＝8， ∴AC＝10.
∵EF∥AC, ∴△BEF∽△BAC.
∴
＝
. 即
＝
. ∴EF＝
.
过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝
.
∴
＝ . ∴FG＝·＝8－m.
∴S＝S△BCE－S△BFE＝
（8－m）×8－（8－m）（8－m）
＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2＋4m.
自变量m的取值范围是0＜m＜8.
(3)存在． 理由如下:
∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8, 且－＜0,
∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8. ∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）
∴△BCE为等腰三角形．
