已知函数f（x）=aln（x+1）+（x+1）2在x=1处有极值． （1）求实数a值；

已知函数f（x）=aln（x+1）+（x+1）²在x=1处有极值．

（1）求实数a值；

（2）求函数f（x）的单调区间；

（3）试问是否存在实数m，使得不等式m²+tm+e²﹣14≤f（x）对任意x∈[e﹣1，e]及t∈[﹣1，1]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．（e=2.71828…）

【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．

【专题】计算题．

【分析】（1）先求出f′（x），因为函数在x=1处有极值，所以得f′（1）=0，代入求出a的值即可；

（2）把a的值代入到f（x）中，求出导函数=0时x的值，在函数的自变量的范围中令导函数大于0，求出x的范围即为函数的增区间，令导函数小于0，求出x的范围即为函数的减区间；

（3）根据1＜e﹣1得到f'（x）＞0，所以x∈[e﹣1，e]时，f（x）_min=f（e﹣1），让m²+tm+e²﹣14≤f（e﹣1），t∈[﹣1，1]恒成立，化简后令g（t）=m²+mt﹣6，得到g（﹣1）≤0，g（1）≤0，解出解集求出m的范围即可．

【解答】解：（1）因为f（x）=aln（x+1）+（x+1）²，

所以．

由f′（1）=0，可得，a=﹣8．

经检验a=﹣8时，函数f（x）在x=1处取得极值，

所以a=﹣8．

（2）f（x）=﹣8ln（x+1）+（x+1）²， =．

而函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如表：

由表可知，f（x）的单调减区间为（﹣1，1），f（x）的单调减区间为（1，+∞）．

（3）∵1＜e﹣1，∴f'（x）＞0，x∈[e﹣1，e]时，f（x）_min=f（e﹣1）=﹣8+e²

不等式m²+tm+e²﹣14≤f（x）对任意x∈[e﹣1，e]及t∈[﹣1，1]恒成立，

即m²+tm+e²﹣14≤f（x）_min⇔m²+tm+e²﹣14≤﹣8+e²，

即m²+tm﹣6≤0对t∈[﹣1，1]恒成立，

令g（t）=m²+mt﹣6，⇒g（﹣1）≤0，g（1）≤0，

解得﹣2≤m≤2为所求．

【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数的单调性的能力，以及理解函数恒成立时所取的条件．