设函数
，
．
（Ⅰ）求
的单调区间和极值；
（Ⅱ）证明：若存在零点，则在区间
上仅有一个零点．
设函数，．
（Ⅰ）求的单调区间和极值；
（Ⅱ）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点．
解：（Ⅰ）由，（）得
.
由
解得
.
与
在区间
上的情况如下：
| x |
|
|
|
|
| - | 0 | + |
|
|
|
|
|
所以，的单调递减区间是
，单调递增区间是
；
在处取得极小值
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在区间上的最小值为.
因为存在零点，所以
，从而
.
当
时，在区间
上单调递减，且
，
所以
是在区间
上的唯一零点.
当
时，在区间
上单调递减，且
，
，
所以在区间上仅有一个零点.
综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点.
