（本小题满分14分）设函数
（Ⅰ）当
时，求
的最大值；
（Ⅱ）令
，（
），其图象上任意一点
处切线的斜率
≤
恒成立，求实数
的取值范围；
（Ⅲ）当
，
，方程
有唯一实数解，求正数
的值．
（本小题满分14分）设函数
（Ⅰ）当时，求的最大值；
（Ⅱ）令，（），其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）当，，方程有唯一实数解，求正数的值．
解：（Ⅰ）依题意，知
的定义域为（0，+∞），
当
时，
，
（2′）令
=0，
解得
．（∵
）
因为
有唯一解，所以
，当
时，
，此时单调递增；
当
时，
，此时单调递减。
所以的极大值为
，此即为最大值 ………5分
（Ⅱ）
，
，则有
≤
，在
上恒成立，
所以
≥
，
当
时，
取得最大值，所以≥… ……9分
（Ⅲ）因为方程
有唯一实数解，
所以
有唯一实数解，
设
，
则
．令
，
．
因为
，，所以
（舍去），
，
当
时，
，
在（0，
）上单调递减，
当
时，
，在（，+∞）单调递增
当
时，
=0，取最小值
．
则
既
所以
，因为，所以
（*）
设函数
，因为当时，
是增函数，所以
至多有一解．
因为
，所以方程（*）的解为
，即
，解得
．…14分