一个圆柱形的竖直的井里存有一定量的水,井的侧面和底部是密闭的

一个圆柱形的竖直的井里存有一定量的水,井的侧面和底部是密闭的.在井中固定地插着一根两端开口的薄壁圆管,管和井共轴,管下端未触及井底.在圆管内有一不漏气的活塞,它可沿圆管上下滑动.开始时,管内外水面相齐,且活塞恰好接触水面,如图5-8-9所示.现有卷扬机通过绳子对活塞施加一个向上的力F,使活塞缓慢向上移动.已知管筒半径r=0.100 m,井的半径R=2r,水的密度ρ=1.00×103 kg/m3,大气压p0=1.00×105 Pa,求活塞上升H=9.00 m的过程中拉力F所做的功.(井和管在水面以上及水面以下的部分都足够长,不计活塞质量,不计摩擦,重力加速度g取10 m/s2

5-8-9

答案

解析:大气压p0能够支承的水柱高度为h0,h0=

=10 m,从开始提升到活塞升至管内外水面高度差为10 m的过程中,活塞始终与管内液体接触(再提升活塞时,活塞和水面之间将出现真空,另行讨论).设活塞上升距离为h1,管外液面下降距离为h2

h0=h1+h2                                ①

    因液体体积不变,有

h2=h1(

                 ②

    由①②得

h1=

×10 m=7.5 m                  

    题给H=9 m>h1,由此可知活塞再上升最后1.5 m高度过程中,活塞与水面之间出现真空,活塞移动距离从零到h1的过程中,对于水和活塞这个整体,其机械能的增量应等于除重力外其他所做的功,因为活塞缓慢上移始终无动能,所以机械能的增量也就等于重力势能增量,

即ΔE=ρ(πr2h1)g

                       

    其他力有管内、外的大气压力和拉力F,因为液体不可压缩,所以管内、外大气压做的总功p0π(R2-r2)h2-p0πr2h1=0,故外力做的功就只是拉力F做的功,由功能关系可知

W1=ΔE                                 ⑤

W1=ρ(πr2)g

=1.8×104 J      ⑥

    活塞移动距离从h1到H的过程中,液面不变,F是恒力,F=πr2p0,做功

W2=F(H-h1)=πr2p0(H-h1)=4.71×1034 J,故所求拉力F做的总功为

W1+W2=1.65×104 J.

答案:1.65×104 J


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