已知数列
是等差数列，
(1)求数列的通项
；
(2)设数列
的通项
(其中a＞0，且a≠1)，
记Sn是数列的前n项和.试比较
与
的大小，并证明你的结论.
已知数列是等差数列，
(1)求数列的通项；
(2)设数列的通项 (其中a＞0，且a≠1)，
记Sn是数列的前n项和.试比较与的大小，并证明你的结论.
(1)设数列
的公差为
，由题意得
解得
∴
(2)由
知
因此要比较
与
的大小，可先比较
与
的大小.
取
有
取
有
，
……
由此推测
若①式成立，则由对数函数性质可断定：
当
时，
当
时，
.
下面用数学归纳法证明①式.
(i)当时已验证①式成立.
(ii）假设当
时，①式成立，
即
.
那么，当
时，
∵
∴
因而
这就是说①式当时也成立.
由(i)(ii)知，①式对任何自然数
都成立.由此证得：
当时，
当时，
评述：该题是综合题，主要考查等差数列、数学归纳法、对数函数的性质等基本知识，以及归纳猜想，等价转化和代数式恒等变形的能力，相比之下，对能力的考查，远远高于对知识的考查.