设函数
.
（I）若
处的切线为
，
的值；
（II）求
的单调区间；
（Ⅲ）若
，求证：在
时，
设函数.
（I）若处的切线为，的值；
（II）求的单调区间；
（Ⅲ）若，求证：在时，
【解】（I）∵
∴ 
…………1分
又
的切线的斜率为
∴ 
∴
…………2分
∴切点为
把切点代入切线方程得: 
…………3分
(Ⅱ)由（Ⅰ）知：
①当
时，
在
上恒成立
在上是单调减函数 …………4分
②当
时，令
解得：
…………5分
当
变化时，
随变化情况如下表：
|
|
|
| |
|
|
| 0 |
|
|
|
|
|
由表可知：
在
上是单调减函数，在
上是单调增函数 …………6分
综上所述：当时，的单调减区间为；
当时，的单调减区间为，单调增区间为 …………7分
（Ⅲ）当
时，要证
，即证
…………8分
令
，只需证 
…………9分
由指数函数及幂函数的性质知：
在上是增函数
又
∴
在
内存在唯一的零点，也即在
上有唯一零点
设的零点为
,则
即
…………10分
由的单调性知：
…………11分
当
时，
，
为减函数
当
时，
，为增函数，
所以当时，
又
，等号不成立∴
…………12分
