已知椭圆
的右焦点为
，短轴长为2，点
为椭圆
上一个动点，且
的最大值为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点的坐标为
，点
为椭圆上异于点的不同两点，且直线
平分
，求直线
的斜率.
已知椭圆的右焦点为，短轴长为2，点为椭圆上一个动点，且的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点的坐标为，点为椭圆上异于点的不同两点，且直线平分，求直线的斜率.
．（1）
；（2）
.
【解析】
试题分析：（1）由已知，
，
，得
；（2）设直线
的方程为
，点
，
的坐标分别为
，
，联立椭圆方程，得
，故
，因为直线平分，所以直线，
的倾斜角互补，斜率互为相反数，可得
，由两点斜率公式可得
.
试题解析：（1）,
，由
得
，所以椭圆的方程为.
（2）设点，的坐标分别为，，由题意可知直线的斜率存在，
设直线的方程为，由
得，
，
因为
，所以
又因为直线平分，所以直线，的倾斜角互补，斜率互为相反数.
同理可得：，
.
考点：直线与圆锥曲线的位置关系．
【方法点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．