在等腰
中，
，点D，E在射线
上，
，过点E作
，交射线
于点F．请解答下列问题：
（1）当点E在线段
上，
是
的角平分线时，如图①，求证：
；（提示：延长，
交于点M．）
（2）当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，如图②；当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，如图③，请直接写出线段
，
，
之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）、（2）的条件下，若
，则
___________．
在等腰中，，点D，E在射线上，，过点E作，交射线于点F．请解答下列问题：
（1）当点E在线段上，是的角平分线时，如图①，求证：；（提示：延长，交于点M．）
（2）当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，如图②；当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，如图③，请直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）、（2）的条件下，若，则___________．
（1）见解析；（2）BC=AE+CF或AE=CF+BC；（3）18或6．
【解析】（1）延长，交于点M．利用AAS证明
，得到ME=BC，并利用角平分线加平行的模型证明CF=MF，AE=EF，从而得证；
（2）延长，EF交于点M．类似于（1）的方法可证明当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，BC=AE+CF，当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，AE=CF+BC；
（3）先求出AE，AB，即可利用线段的和差求出答案．
【详解】（1）如图①，延长，交于点M．
∵，
∴∠A=∠BCA=∠EFA，
∴AE=EF
∴
∴∠MED=∠B， ∠M=∠BCD
又∵∠FCM=∠BCM，
∴∠M=∠FCM
∴CF=MF
又∵BD=DE
∴
∴ME=BC
∴CF=MF=ME+EF=BC+AE
即AE+BC=CF；
（2）当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，BC=AE+CF，
如图②，延长，EF交于点M．
由①同理可证，
∴ME=BC
由①证明过程同理可得出MF=CF，AE=EF，
∴BC=ME=EF+MF=AE+CF；
当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，AE=CF+BC.
如图③，延长交EF于点M，
由上述证明过程易得，BC=EM，
CF=FM，
又∵AB=BC，
∴∠ACB=∠CAB=∠FAE
∵
∴∠F=∠FCB，
∴EF=AE，
∴AE=FE=FM+ME=CF+BC
（3）CF=18或6
当DE=2AE=6时，图①中，由（1）得：AE=3，BC=AB=BD+DE+AE=15，
∴CF=AE+BC=3+15=18；
图②中，由（2）得：AE=AD=3，BC=AB=BD+AD=9，
∴CF=BC-AE=9-3=6；
图③中，DE小于AE，故不存在．
故答案为18或6．
【点睛】本题是考查了角平分线、平行线和等腰三角形及全等三角形的综合题，关键是添加恰当的辅助线，构建角平分线加平行的模型，是一道较好的中考真题．